Exercícios de Razão e Proporção

Olá, pessoal! Sou o Jovem Professor e hoje vamos falar sobre um tema muito importante em matemática: Razão e Proporção. Entender esses conceitos é fundamental, pois eles estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia, como na receita de uma comida, na velocidade média de um carro, ou até mesmo na construção de maquetes e mapas. Vamos explorar os conceitos básicos e ver como aplicar esses conhecimentos para resolver problemas práticos.

Razão e Proporção

A razão entre dois números não nulos é o quociente entre eles.

Exemplos

1. Num vestibular com 40 questões, Luciano acertou 20. Vamos determinar a razão entre o número de questões certas e o número total de questões.

\[ \text{Número de questões certas: } 20 \\ \text{Número total de questões: } 40 \\ \text{Razão: } \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \text{ (lê-se: "1 para 2")} \]

2. Um grupo de esportistas é formado por 340 rapazes e 360 moças. Vamos encontrar as razões a seguir.

a) Razão entre o número de moças e o número de rapazes.

\[ \text{Número de moças: } 360 \\ \text{Número de rapazes: } 340 \\ \text{Razão: } \frac{360}{340} = \frac{360 \div 20}{340 \div 20} = \frac{18}{17} \text{ (lê-se: "18 para 17")} \]

b) Razão entre o número de moças e o número total de esportistas:

\[ \text{Número total de esportistas: } 340 + 360 = 700 \\ \text{Razão: } \frac{360}{700} = \frac{360 \div 20}{700 \div 20} = \frac{18}{35} \text{ (lê-se: "18 para 35")} \]

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Escala de um desenho

\[ \text{Comprimento no desenho: } 20 \text{ cm} \\ \text{Comprimento real: } 50 \text{ m} = 5000 \text{ cm} \\ \text{Escala: } \frac{\text{Número que expressa o comprimento no desenho}}{\text{Número que expressa o comprimento real}} = \frac{20}{5000} = \frac{20 \div 20}{5000 \div 20} = \frac{1}{250} \]

Portanto, a escala é de 1 para 250, ou seja, cada centímetro no desenho corresponde a 250 cm no tamanho real. Podemos também indicar essa escala por 1 : 250.

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Exemplo

Vamos verificar se os números 30, 40, 12 e 16 formam, nessa ordem, uma proporção.

\[ \frac{30}{40} = \frac{12}{16} \\ \frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4} \quad \text{e} \quad \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} \]

Portanto, os números 30, 40, 12 e 16 formam uma proporção, o que significa dizer que 30 está para 40 assim como 12 está para 16.

Propriedade Fundamental das Proporções

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = c \cdot b \]

Exemplos de Aplicação

1. Vamos calcular o valor de \( x \) na proporção:

\[ \frac{2}{x+5} = \frac{5}{x-1} \\ 2 \cdot (x - 1) = 5 \cdot (x + 5) \\ 2x - 2 = 5x + 25 \\ 2x - 5x = 25 + 2 \\ -3x = 27 \\ x = \frac{27}{-3} = -9 \]

2. Com uma velocidade média de \( \frac{245}{3} \text{ km/h} \), quantos quilômetros um automóvel percorre em 9 horas?

\[ \text{Espaço percorrido: } x \\ \text{Velocidade média: } \frac{245}{3} \text{ km/h} \\ \text{Tempo gasto: } 9 \text{ horas} \\ \frac{245}{3} = \frac{x}{9} \\ x = \frac{245}{3} \cdot 9 = 3 \cdot 245 = 735 \text{ km} \]

Portanto, esse automóvel percorre 735 km.

Exercícios Propostos

1. Um mapa de certa região foi feito na escala 1 para 20.000.
   • a) Quanto mede, em quilômetros, um trecho de uma estrada que no mapa mede 2 cm?
   • b) Outro trecho de estrada mede 1 km. Quantos centímetros tem sua representação no mapa?
2. A maquete de um prédio foi construída na escala 9 : 250. A maquete tem 54 cm de altura. Calcule, em centímetros, a altura do prédio.
3. A miniatura de um carro tem 6,5 cm de comprimento. Essa miniatura foi construída na escala 1 : 88. Qual é o comprimento do carro em metros?
4. Um carro percorre 350 km em 4 horas. Calcule a velocidade média desse carro.
5. Uma moto percorre 545,2 km de uma estrada em 5,5 horas. Calcule, aproximadamente, a velocidade média dessa moto.
6. Encontre o valor de \( x \):
   • a) \(\frac{5x + 2}{4x + 1} = \frac{3}{4}\)
   • b) \(\frac{2x - 1}{3x + 2} = \frac{16}{5}\)
7. A densidade demográfica de uma certa região é de 1.250 \(\text{km}^2\) e 20,2 hab./km\(^2\). Determine o número de habitantes dessa região.

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